Карьеру начинал в клубе Высшей Хоккейной Лиги «Кристалл». Дебют пришелся на сезон 2007/2008, в котором Дмитрий провел 14 матчей. В сезоне 2008/2009 был основным вратарем команды, проведя в общей сложности 39 игр.

На драфте юниоров КХЛ-2009 под 3-им номером был выбран командой «Амур». Проведя за молодежную команду «Амурские тигры» 6 матчей, был обменян в питерский СКА.

Играл за молодежную команду СКА — «СКА-1946»

В сезоне 2011/12 провел за ХК ВМФ 28 матчей, пропуская по 2,62 гола за игру и отражая 91,3% бросков. В плей-офф на счету Шикина 5 матчей с коэффициентом надежности 2.34 пропущенных гола за матч и 93.2% отраженных бросков.

В сезоне 2012/13 провел за ХК ВМФ 32 матча, пропуская по 2,48 гола за игру и отражая 90,8% бросков.

В сезоне 2013/14 провел за ХК ВМФ 26 матчей, пропуская по 2,27 гола за игру и отражая 92,6% бросков.

В составе СКА в регулярном чемпионате 2013/14 на счету Шикина 3 матча с коэффициентом надежности 1.61 пропущенных гола за матч и 93.4% отраженных бросков.

Победитель Subway Super Series 2010

Чемпион мира 2011 года среди молодежных команд