Дмитрий Коробов начал свою профессиональную карьеру в 2006 году в составе клуба белорусской экстралиги «Гомель», выступая до этого за его фарм-клуб. В составе «Гомеля» Дмитрий выступал до 2008 года, набрав за это время 20 (7+13) очков в 93 проведённых матчах. Сезон 2008/09 Коробов начинал в составе бобруйского «Шинника», тем не менее, в том же сезоне он получил шанс дебютировать в Континентальной хоккейной лиге в составе минского «Динамо». В своём первом сезоне в КХЛ Дмитрий набрал 2 (0+2) очка в 12 проведённых матчах, однако следующий сезон он провёл в фарм-клубе минчан солигорском «Шахтёре».

Перед началом следующего сезона Коробов вернулся в Минск, где он стал одним из основных защитников команды, набрав 10 (2+8) очков в 37 проведённых матчах. Летом 2011 года появилась информация о возможном переходе Дмитрия в клуб НХЛ «Тампа Бэй Лайтнинг», однако сезон 2011/12 он вновь начал в составе минского клуба, проведя, в итоге, 42 матча, в которых он отметился 11 (1+10) результативными баллами.

3 мая 2012 года Дмитрий подписал контракт с вернувшимся в КХЛ после трагической авиакатастрофы ярославским «Локомотивом».

В августе 2012, в 23 года, Коробов решает попробовать свои силы в НХЛ в «Тампа-Бэй Лайтнинг». Однако Дмитрий весь сезон проводит в фарм-клубе «Молний» — «Сиракьюз Кранч», где в 82 матчах набирает 24 (4+20) очка при показателе полезности «+18», включая плей-офф.

В сезоне 2013/14 белорусский защитник продолжил выступать за «Сиракьюз Кранч», где в 71 игре набрал 26 (3+23) очков. В этом же сезоне за спиной Коробова — 3 матча в НХЛ за «Тампу» и одна результативная передача.

В составе сборной Белоруссии Дмитрий Коробов принимал участие в юниорском чемпионате мира 2006 года, на котором белорусы заняли лишь 9 место и покинули элитный дивизион. Тем не менее, уже в следующем году Дмитрий вместе с командой сумел вернуться в элиту. В 2007 году Коробов дебютировал на молодёжных первенствах, однако в том же году белорусы потеряли место в элитном дивизионе, поэтому два последующих турнира, в которых выступал Дмитрий, проходили в первом дивизионе. На взрослом уровне Коробов принимал участие в четырёх чемпионатах мира (2009, 2011, 2012 и 2014 годов). На этих турнирах Дмитрий провёл 24 матча, в которых набрал 11 (2+9) очков при показатели полезности «+6».